叶婷

女

28

中小学二级

数学

武进区芙蓉小学

教研组长

课 题 组 其 他 主 要 成 员

姓名

职称

职务

学科

在课题研究中的分工

黄平东

中小学二级

教师

数学

撰写心得、论文，资料整理

  注：课题主持人至多2人，其他主要成员至多10人。

二、课题设计

（一）研究背景（研究这一问题的原因、意义和基础）

1、学生面积公式概念的重要性

（1）常用面积公式解题

（2）面积公式概念的形成可以使面积解题能力由具体操作提升至抽象思考

2、面积公式概念形成历程的复杂性

（1）由于面积公式概念形成历程所需的心智运作极为复杂，儿童必须联合各种操作经验（覆盖、点数、切割和拼凑）与提升心像能力（由具体到抽象）；

（2）即使学童已具备丰富的面积具体操作解题经验，也不一定能顺利将此经验抽象提升成为公式概念（黑箱理论）。

3、面积公式概念的学习现状

    我国传统的数学教育强调计算、记忆、熟能生巧、大运动量的数学练习等。在这种大背景下,教师教学侧重于算法指导,学生看重如何能更快速解出题目,各类中小学数学教学杂志倾向于巧求面积,各种各样的图形的面积计算等等。而对于面积概念的理解,以及面积测量策略的多样性,学生的思维模式等方面的研究很少。学生不易理解公式形成过程的意义，造成大部份学生虽能背诵出基本图形（长方形、平行四边形、一般三角形和梯形）的面积公式，但却无法清楚说明面积公式的由来。即大多儿童只是公式推理结果的记忆，缺乏公式推理过程的理解，这样的情形长常导致学生在解题时误用公式。

（二）理论分析（有关概念界定，理论依据，研究动态，本课题创新之处等）

关于面积的定义，《辞海》（第六版）里的解释是：“几何学的基本度量之一。是用以度量平面或曲面上一块区域大小的正数。通常以边长为单位长的正方形的面积为度量单位。”（这里应该说“非负数”，因为图形的面积可以是 0）

本研究主要探究儿童面积公式概念如何形成，儿童面积公式概念的形成源于儿童所获得的面积知识及认知心理的运作，本研究在儿童如何获得知识的问题上，采取建构主义的观点，认为知识是儿童主动建构而成，因此以建构主义的观点说明儿童的知识如何获得。由于儿童的知识无法直接呈现，研究者仅能以儿童在问题情境中所表现的解题活动来推测，解题活动乃是心理运作的结果，本研究在儿童心理的运作上，采取基模论的观点，认为儿童的解题活动是基模运作的结果，因此以基模论说明儿童解题时的心理活动历程。

1、面积概念的形成

对几何图形的度量是一个古老的数学问题。它起源于人们的劳动生活,又包

含着深刻的数学哲理。随着人类社会的发展,几何图形的面积概念不断更新和充

实,其发展到了今天也没有结束。本文从以下三个方面来阐述面积的概念。

（1）“教材说”

我们的教材上有这样几种定义：

①　平面上一个封闭图形所包围部分的大小；

②　物体的表面或围成的平面图形的大小；

③　度量平面或曲面上一块区域的大小。

在美国的《发现几何》上,面积是这样定义的一个平面图形的面积就是这

样图形所围成的区域的测度。

2、数学家定义的面积

要计算一个图形面积和用数表示它的大小,这要先回顾一下我们是如何测量

一条线段和怎样用数表示这条线段的长短。首先是选定一段单位长线段比如选定厘米为单位长度,然后用这单位长线段去量要测的线段,看它含有这条单位线段的若干倍,就确定了它的长度是多少。现在我们要测量一个平面图形面积的大小,就不能用单位线段来量它,因为线段只有长度,也就是只有一个向度,而面积不仅有长短而且有宽窄,也就是有两个向度。“不同质的矛盾只能用不同质的方法来解决”,我们可以类似地选定一个单位面积,用这个单位面积做标准去量所要测量的图形的面积。

最方便的方法,我们选一个边长为1的正方形的面积作为面积单位,叫做一个单位面积。边长为10的正方形就可以将边10等分,过分点向边做平行线,可分成10×10个单位正方形,因此它的面积是100个面积单位。这样,如果矩形的长与宽是整数a与b,其面积就等于a×b。

如果矩形的长与宽不是整数怎么办呢?一个顺理成章的方法是把面积单位变小。对于边长是有理数的矩形,我们总可以选择适当小的面积单位,将矩形剖分成整数个小单位面积,然后数个数,得到矩形的面积公式面积长宽。

如果矩形边长不是有理数,就不能剖分成整数个小正方形,因为不能用数个数的方法得到它的面积。这就是面积公式的困难所在。这里涉及到推广到实数的面积的严格定义。

设矩形边长为a、b（a、b是非负实数）。它的面积为a、b的一个函数,一记为S(a，b),S(a，b)取非负的实数值,并具有以下性质：

S(1，1)=1；S(a，b)=S(b，a)；S(a+c，b)=S(a，b)+S(c，b)。

从这个概念,我们可以导出矩形的面积公式为S(a，b)=a×b。当a、b为有理数时,这个结论很容易得到。若a、b是非负实数,由实数理论,对任何实数都有两串有理数从左右两边无限逼近它。这样S(a，b),也只能是a×b。这就严格给出了矩形面积就是长乘以宽。

类似地,我们也可以由多边形面积作为面积定义的基础。所谓平面多边形的“面积”,是指使每一多边形跟满足下列条件的一个量相对应：

（1）两个全等的多边形有相同的面积,不论它们在空间所占的位置如何；

（2）两多边形没有任何公共内点之和的面积,等于这两个多边形的面积之和；

（3）约定边长等于单位长度的正方形作为面积的单位。

我们不妨引用现代数学中的测度理论，严格地定义面积[]。

【面积】设Σ是一些封闭平面图形组成的集合。m是定义在Σ上取值于非负数的一个映射：m（A），A∈Σ，且满足以下条件：

1. （有限可加性）若A，B∈Σ，A与B不相交，

那么m（A∪B）=m（A）+m（B）。

2.（运动不变性）如果图形 A∈Σ，经过平移、旋转、反射的运动成为图形 A′∈Σ，那么m（A）=m（A′）。

3.（正则性 ）边长为1的正方形I∈Σ，且m（I）=1。

我们将映射m称为图形的面积。

面积的这个严谨定义说明，面积乃是对一些平面图形分别指定一个数（0或正数），而且指定的方法必须满足“有限可加性”“运动不变性”和“正则性”三个条件。这三条也可以看作是“面积公理”。其实，其基本思想也适用于长度公理、体积公理，只要把Σ中的平面图形换作线段或立体图形就行了，关键是要满足那三条性质。

2、建构主义

探讨儿童的面积概念，实际上即为探讨学童的面积知识，因此对于儿童知识如何获得应有所说明，以做为本研究知识论上的理论依据。儿童的知识如何获得，传统的数学教育认为教学就是知识的传送(transmission)，学习就是知识的吸收(absorption)，由此观点，学生是被动地吸收其他人或教科书中的数学结构，以获得知识。接受传统数学教育的学生，常在反覆练习的题目中学习规则的使用，但对于所学的知识并没有内化的理解，这种只知其然但不知其所以然的「机械式理解」(instrumental understanding)，学习者通常只是记忆了规则或公式，但却不理解规则或公式产生的过程。「没有理解的记忆，通常只能停留很短暂的时间，而且记忆一旦流失，就无法重新自行回溯出来」。因此儿童的学习过程不应是被动接受教师所传送的知识，应该是儿童以既有的知识和经验为基础，在数学活动中主动建构知识。

儿童借由回顾自己身体或心里的活动能创造新的数学知识，当儿童能整合这些新知识到既有的数学结构中，概念就能被建构或变得有意义，因此知识应是儿童主动制造(created)或发明(invented)，不是被动地从环境中接受，如同皮亚杰学派的立场认为数学概念是儿童自己建造的。研究者在儿童知识如何获得的观点上亦采取相同的观点，认为儿童的知识是由儿童主动建构而成，以此观点来看，儿童的面积概念是儿童在主动参与有关面积的数学活动中，逐渐建构而成。

 冯·格拉塞斯费尔德（Von Glasersfeld，1989)提出建构主义的两项主要原则，恰好可以阐释「知识的来源」与「知识的本质为何」：

(一)知识并非被动获得，而是具有认知之个体主动建造构筑而成；

(二)认知的功能是调适的(adaptive)，用来组织主体的外在经验世界，而非用来发现已存在的本体现实(ontological reality)。第一项原则指出「知识的来源」源于认知个体主动的建构，如皮亚杰所指，人类的知识是透过活动逐渐建构发展，个体的知识在活动中不断的发展，不断的再建构(re-construct)；第二项原则指出「知识的本质」是因人而异，如皮亚杰所指，认知活动是发生于个体的认知结构中，个体会因自身经验的不同，对活动内容产生不同的诠释，因此建构的知识有其个别的差异。本研究主要探究儿童的面积公式概念如何形成，以建构的观点，儿童的面积公式概念是儿童主动建构而成，但即使在相同的学习活动下，不同的学生由于其既有的认知结构不同，对于活动内容将产生不同的诠释，所建构的面积公式概念会有所差异，因此本研究将针对不同学习成就的学生进行研究，以找出不同程度学生在面积公式概念形成时的建构历程。

本研究主要探究儿童的面积公式概念如何形成，以建构的观点，儿童的面积公式概念是儿童主动建构而成，但即使在相同的学习活动下，不同的学生由于其既有的认知结构不同，对于活动内容将产生不同的诠释，所建构的面积公式概念会有所差异，因此本研究将针对不同学习成就的学生进行研究，以找出不同程度学生在面积公式概念形成时的建构历程。

本研究主要探究儿童的面积公式概念如何形成，以建构的观点，是研究儿童于解题活动中如何主动建构面积既有概念与经验成为公式概念。本研究以建构主义为知识形成的理论基础，建构主义主张儿童的知识于活动中主动建构而成，基于学习是个体主动建构的观点，为使学生真正处于主动的地位，并对学习的内容有真正的理解，学习数学最好的方法就是动手去做，即「学数学就是做数学」(“knowing” mathematics is “doing” mathematics)，让学生透过解题(problem solving)来学习数学。因为解题过程是儿童概念主动运作的结果，儿童自己能够理解解题过程的意义，并可在解题的过程中内化本身的经验成为可运作的概念，因此透过解题活动学生可理解解题过程的意义，并且可主动建构相关的数学知识。解题除了是学习数学最好的方法，也是探查儿童数学概念最好的方法，因为解题活动是儿童既有概念运作的结果。在本研究中，研究者可在儿童解题活动中，观察其解题行为，据以推测儿童既有的面积概念，并可借由与儿童沟通的过程，探究儿童面积公式概念如何建构而成。

本研究以建构主义为知识产生的理论基础，以建构的观点而言，儿童的面积概念乃是在相关的数学活动中主动建构而成。儿童的知识无法直接呈现，要描述儿童的面积知识，仅能从学童在情境中所展现的解题活动来推测。由于解题活动是心理运作的结果，康弗瑞(Confrey，1991)指出建构论的心理学基础乃是基于皮亚杰的心智适应的原理。

3、基模论

皮亚杰视基模(schema)为人类吸收知识的基本架构，因而将认知发展解释为个体的基模随年龄增长而产生的改变。依皮亚杰的观点，婴儿出生后，即开始主动运用与生俱来的一些基本行为模式，对环境中的事物做出反应，以适应环境。这种以身体感官为基础的基本行为模式，是个体用以了解周围世界的认知结构(cognitive structure)，当个体遇到环境中的事物，就使用认知结构去核对和反应，皮亚杰将这种认知结构称为基模(schema)，Skemp(1987)称它为心灵影像。随着个体成长，基模因为经验增多而变得复杂与精致，变为心理性的行为模式。Skemp(1987)认为心灵影像(schema)有两个主要功用：统合已知的知识，同时也是获得新知识及产生真正理解的心智工具。

皮亚杰采用组织(organization)、适应(adaption)与平衡(equilibration)等三个概念来解释儿童心智活动的历程。「组织」是指个体在处理周遭事物时，能统合运用身体的与心智的各种功能，以达到某种目的，为目标导向之身心活动历程。「适应」是指个体的认知结构或基模因环境限制而自动改变的历程，以建构的观点而言，适应的目的在于增进个体的平衡(Von Glasersfeld， 1995)，个体为了与外界保持平衡，采取两种适应方式：「同化」(assimilation)与「调适」(accommodation) 。「同化」(assimilation)是指个体在面对新的经验时，将新的经验吸纳入既有的基模内，如果吸纳的结果发现既有基模仍然适合，此一新事物即被同化在个体既有的基模内，成为知识的一部份，儿童「理解一件事物表示把这件事物同化入一个适当的心灵影像之中」(Skemp，1987)。「调适」(accommodation)是指既有基模无法同化新经验时，个体会主动修改既有基模，以符合环境的要求，这种「心智状态的改变增添我们本来不具有的能力」(Skemp，1987)。皮亚杰认为当个体既有基模能够轻易同化环境中新知识经验时，在心理上就会感到平衡；当个体既有基模不能同化环境中新知识经验时，在心理上就会感到失衡，此时个体将因心理状态的失衡产生一种内在驱力，驱使个体进行调适，改变既有的基模以适应环境。随着个体与环境中事物的互动增加，在适应环境时心理上连续地交替出现平衡与失衡的状态，使个体不断地经历同化与调适两种互补的适应历程，使得儿童的基模逐渐扩大与提升，而行为的表现亦趋于复杂变化。

本研究在探究儿童是否具有特定的面积基模时，由于儿童内在运思活动无法直接观察得到，因此研究者必须借由观察儿童外显的解题活动，即儿童使用基模的结果，来推测儿童所具有的面积基模。在研究进行中，研究者可藉由以下三种途径来了解儿童所具有的面积基模及基模的运用情形：

(一)  详察儿童对题意的阐释；

(二)  详察儿童的解题活动；

(三)  详察儿童对其解题活动的阐释。

 在本研究进行时，研究者可以儿童展现的面积解题方法，以及儿童对解题

过程的说明，来推测儿童所具有的基模质量。因为同一解题活动可能是发动不同基模的成果，因而区分基模的质量相当的重要。根据基模发动后，对运作结果的预期能力，以及对感官活动材料的依赖程度，可以用来区分基模的内在质量，并可依此将解题活动区分为感官活动(sensori-motor activity)、表征活动或再表现活动(re-presenting activity)、及心智活动(mental activity)等三类。所谓的「感官活动」是指儿童的解题必须透过实际具体物的操弄来解题。所谓的「表征活动」是指儿童在缺乏感官材料的情境中，能自行供给所需材料的表征以进行解题，但无法说明解题活动的过程意义，此时儿童的解题是知其然而不知其所以然。所谓的「心智活动」是指儿童的解题不须透过实际具体事物的操弄，并且可预测活动的结果，能说明解题活动的结构，并利用解题的结果做进一步的运思，此时儿童的解题是知其然亦知其所以然。

  本研究以皮亚杰的基模论，阐释儿童面积公式概念建构时心理的运思活动。本研究的目的在探索儿童面积公式概念形成时，其基模改变的情形和原因，但由于儿童的面积基模无法直接呈现，必须藉由观察儿童的解题表现，即基模运作的结果，来推测儿童所具有的基模，研究者藉由不断检视与反思儿童面积解题活动，期能获得最契合儿童面积公式概念形成的阐释。

本研究的目的在于探索儿童面积公式概念如何建构，以及建构历程中面积概念改变的原因和情形。面积公式概念的形成，需儿童具备丰富的具体操作经验后，将具体操作活动的过程抽象化，才能形成公式概念。由具体操作到抽象思维的历程犹如一个黑箱，在此黑箱中学生面积概念的变化，将影响学生面积公式概念的建构，唯有进入此黑箱，才能了解学童面积概念的变化，因此研究者准备进入此黑箱，探查学童如何建构面积公式概念，以及建构历程中面积概念产生变化的原因和情形。

（四）研究内容

本研究主要探讨长方形、直角三角形、平行四边形、一般三角形和梯形面积公式概念，不纳入圆、五边形以上的多边形与边长非直线图形的面积问题。

1、学童面积公式形成历程中，面积概念如何变化？

2、学童面积公式形成历程中，有哪些迷思概念？

3、学童面积公式概念的应用情形？

1、文献分析法：文献分析法主要指搜集、鉴别、整理文献，并通过对文献的研究，形成对事实科学认识的方法。本研究主要探究学童面积公式概念如何形成，学童面积公式概念的形成源于学童所获得的面积知识及认知心理的运作，本研究在儿童如何获得知识的问题上，采取建构主义的观点，认为知识是儿童主动建构而成的。由于儿童的知识无法直接呈现，研究者仅能以儿童在问题情境中所表现的解题活动来推测，解题活动乃是心理运作的结果，本研究在儿童心理的运作上，采取基模论的观点，认为儿童的解题活动是基模运作的结果。学童面积公式概念的建构与其先备概念有关，因此本研究从国内外文献中探讨儿童面积概念的发展，以找出建构面积公式概念所需的先备概念。面积公式概念建构时，先备概念的迷思会导致后续公式学习的错误，因此本研究探讨学童面积概念建构过程中常见的迷思。依上述原因，本研究从“建构主义”、“基模论”、“面积概念的发展”、“面积的迷思概念”等面方面进行文献综述。

2、晤谈法：晤谈法是一种有目的会晤，晤谈临床工作者在从事评估和心理治疗时的一种基本技术，测验者和被测验者进行面对面的谈话，测验者按照事先准备好的测验项目，提纲式地同测验者在轻松、自然的状态下按测验的要求进行谈话，听取被测验者对测验问题的回答，对测验结果进行分析，以了解被测验者的心理现象和个性特征。使用教学晤谈法，研究者一方面能观察到现场儿童的解题活动与反思活动，以推测其面积基模运用情形，另一方面能借由与研究对象的互动中，探查儿童面积基模的变化情形。因此使用教学晤谈法进行本研究，有利于研究者探索面积公式概念形成历程中，儿童面積基模产生变化的情形和原因。教学晤谈法具有诊断面谈与教学实验的优点，有利于研究者进行有关儿童面积公式概念的探究。因为在教学晤谈过程中，研究者可以借由现场儿童的解题活动与反思活动，推测儿童如何使用其面积基模，进而提出下一个问题以检验研究者本身的假设。

（六）研究计划

单位盖章：

负责人签字：