钉子板上的多边形
——陈祥娣
教学目标：
1.经历画图、填表、分析数据、探索规律的过程，发现皮克公式。
2.初步感悟通过固定某些变量的值来探求其余变量的变化规律的科学思维方法。
3.获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验。
4.能类比迁移探求问题的方法，尝试拓展研究同类新问题。
教学重点：
发现、得出多边形的面积与边上钉子数和多边形中间钉子数之间的规律
教学难点：
类比推导出一般规律
教学准备：
作业纸，多媒体课件
教学过程：
一、激趣生疑，直观感知，启发学生分因素，从简单问题入手研究：（5分钟）
1、同学们，数学的世界犹如浩瀚的海洋，蕴藏着无穷的宝藏。在神秘的数学世界已经发现了很多有用的规律。今天，老师将带领大家到“钉子板上的多边形”世界走一走，看看会有什么发现和收获。（揭示课题：贴板书）
我们可以用橡皮筋在钉子板上围各种不同的多边形。（出示视频）而数学上，为了更便于研究，常用点子图来代替钉子板。（课件显示点子图）仔细观察，点子图有什么特点？
点子图上横竖每相邻两个点之间的距离都是
那看看这张点子图上的多边形，它的面积各是多少平方厘米？
预设：
2、启发：这些多边形面积大小都不一样，那你能猜想下，钉子板上多边形面积的与什么有关呢？
预设：1、多边形的面积可能和围的图形大小有关？（引导：围图形时都要进过这些边上的钉子数，那也就是边的长短和边上的钉子数有关。）（贴出板书：边上的钉子数）
追问：那还可能和哪里的钉子数有关？（根据回答，贴出板书：内部的钉子数）
2、多边形的面积可能和周长有关？
3、多边形的面积可能和格子数有关？
过渡：通过猜想，钉子图上围的多边形面积越大，多边形边上的钉子数会？（越多）多边形内部的点子个数可能也会？（变多）嗯，有点道理。那么它们之间有怎样的关系呢？今天这堂课我们就一起从最简单的开始研究，当多边形内部只有1个钉子时，看看有什么发现。
二、探究多边形内有一枚钉子的情况
1、出示：研究单一
2、先示范一个，再独立完成表格（点下：除了可以数方格计算，对于规则图形的面积还可以用公式计算）
3、课件直接出示表格，汇报交流
4、讨论问题：观察上表，你有什么发现？
预设：
（1）多边形边上的钉子数越多，面积越大
（2）多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半
（3）多边形的面积乘2等于多边形边上的钉子数（追问：反过来就是说……）
在数学上，一般用S表示面积，n表示多边形边上的钉子数，那S等于？（贴出猜想）
2、举例验证，明确前提
引导：S=n÷2，也就是告诉我们，只要抓住多边形边上的钉子数n，就能够求出多边形的面积S。那我们的发现能不能成为有用的规律？还要？（板书：验证）我们一起来验证一下。
课件显示：
我们一起来看，第一个图形，多边形边上钉子数多少？根据发现算一算面积多少？数数看对不对？看来我们的发现还是挺有用的。
再来一个。这个多边形边上钉子数多少？根据发现算一算面积多少？数数看对不对？现在你有什么想说的？
启发引导：仔细对比这两个图形，再回过来想想刚才我们的发现，你有什么想说的吗？（表扬：你的观察真仔细）
3、归纳概括，形成结论
那现在你能完整的来说说这个规律了吗？当多边形里面钉子数是1时，多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半。
通常我们把多边形里面的钉子数用a来表示，当a=1时，S=n÷2（板书）
过渡：其实，从一开始我们就提出了，钉子板上的多边形的面积不仅跟多边形边上的钉子数有关，还跟多边形内部的钉子数有关。现在的这个发现有局限性，还不能称之为规律。看来我们还有继续研究。当a=2时，又有怎样的规律？
三、运用结构，探究多边形内有多枚钉子的情况
1、探究形内有2枚钉子的情况
出示研究单二（5分钟）
认真阅读要求，小组合作完成
展示交流：学生上实物投影展示作品，说说多边形的面积是多少？边上有几枚钉子。
大家看着表格中的数据想一想，当多边形里面有两枚钉子，多边形面积和边上钉子数有什么关系？
学生汇报，结合表格中数据具体说一说。你听懂了吗？把你的发现再说一遍给大家听听。
如果用字母表达式来表示这一规律应该怎么写？板书：当a=2时，S= n÷2＋1
2、推想形内有2枚以上钉子的情况
猜测图形内有3、4枚钉子的规律，并验证规律。
师：通过合作探究，我们发现，当a=1时，S= n÷2，当a=2时，S= n÷2＋1（边指板书边说）
请你大胆地推测下，当a=3时，a=4时多边形的面积和边上的钉子数有什么关系呢？
根据学生的猜测板书：S= n÷2＋2 ;S= n÷2＋3
师;这只是我们的猜想，是否正确，还需要我们一起来验证，请看要求，完成研究单三。（投影出示要求）
学生同桌合作验证，然后汇报。
那么a还可以几呢？写的完吗？那我们可以怎么办？
同学们，通过我们动手操作，认真探究发现了多边形边上的钉子数与面积的关系，真了不起！仔细观察黑板上的这些算式，（指着式子）他们之间有还有什么规律？（n÷2加上的数字总是比钉子数少1）根据学生的回答板书完整，如果a=x时，你能用一个式子，表示出S和n之间的关系吗？S=n÷2+（x-1）
因此，要想知道钉子板上多边形的面积，我们需要知道什么？（既要知道边上的钉子数，又要知道多边形内部的钉子数）
师：如果多边形的里面没有钉子，多边形的面积应该怎么求呢？启发学生多边形的内部没有钉子就是表示a=0，得出s=n÷2-1。
四、全课小结
今天这堂课我们通过对钉子板上的多边形的研究，发现了钉子板上的多边形面积不仅与边上钉子数之间有关系，还与多边形里面钉子数有关系，并最总得出了一个公式。同时，我们经历了科学探索的一般过程，（显示）提出猜想——举例验证——得出结论。同学们如果对今天学习的知识感兴趣，老师推荐大家课后去读一本书，这本书叫《格点和面积》，是由我们中国的数学家闵嗣鹤所著。大家还可以上网搜一个外国数学家的名字，他叫乔治·皮克，我们今天得出的这个公式，就是以他的名字命名，叫做皮克公式或者皮克定理。
板书设计：
钉子板上的多边形
内部钉子数 多边形的面积 多边形边上的钉子数 猜想
当a=0时，S=n÷2-1
当a=1时，S=n÷2
当a=2时，S=n÷2＋1 验证
当a=3时，S=n÷2＋2
当a=4时，S=n÷2＋3
……
当a=x时，s=n÷2＋x－1 结论
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